Est-il possible de caractériser l'espace euclidien tridimensionnel
qui s'offre si immédiatement à l'intuition physique au moyen
d'axiomes mathématiques simples et naturels ? Plus généralement,
est-il possible de caractériser les espaces de Bolyai-Lobatchevskii
à courbure constante négative, ainsi que les espaces de Riemann à
courbure constante positive, à l'exclusion de toute autre géométrie
contraire à une intuition directe ?
À une époque (1830-1850) où l'émergence nécessaire des
géométries dites non-euclidiennes devenait incontestable, c'est
Riemann qui a soulevé cette question profonde et difficile dans
son discours d'habilitation (1854), sans chercher, toutefois, à
la résoudre complètement. Helmholtz (1868) l'interprétera en
conceptualisant le mouvement des corps dans l'espace et il tentera
d'établir rigoureusement que le caractère métrique et localement
homogène d'un espace se déduit d'axiomes de mobilité maximale
pour des corps rigides.
Mais il fallut attendre les travaux de Sophus Lie, et notamment
la Theorie der Transformationsgruppen (2100 pages, 1884-1893)
écrite en collaboration avec Friedrich Engel, pour qu'une solution
complète et rigoureuse soit apportée à ce fascinant problème, à
la fois au plan local et au plan global. L'introduction historique,
philosophique et mathématique ainsi que la traduction que nous
proposons ici aspirent à faire connaître un aspect de l'oeuvre
monumentale de Sophus Lie qui demeure essentiellement peu
évoqué au sein de la philosophie traditionnelle géométrique.
