La pulsation mathématique, c'est ce que chacun accomplit quand il fait des mathématiques, même les plus élémentaires. C'est un «geste de pensée» très spécial, que le mathématicien, comme «artisan», sait faire. Cette pulsation consiste paradoxalement en un va-et-vient permanent entre sens et non-sens, entre maîtrise et abandon, et relève d'une profonde ironie vis-à-vis de l'égalité et de l'identité. Sa description et sa mise en scène proposées ici, bouleversent les idées sur la rigueur et l'évidence, le chiffre et la lettre, l'ambiguïté.
L'ouvrage soutient ceci : instruire du savoir-faire avec cette pulsation est la priorité, tant du point de vue de la formation des élèves, que de celui de la question, pour la philosophie, de penser le mathématique. Cela incite à une histoire et à une épistémologie des mathématiques plus attentives à l'acte mathématique lui-même et au savoir-faire spécifique de la pensée spéculative, et moins tournées vers le système des savoirs, les problématiques et les cadres, le commerce des idées.
L'idéologie des inclus impose prioritairement aux professeurs d'avoir à éduquer et à former des citoyens connaisseurs du monde global, d'enseigner positivement la réalité qui va de soi. Contre cela, il est posé ici, à partir du point précis de la pulsation, la primauté du souci d'instruire du réel de l'acte de pensée, du risque nécessaire qui s'y tient, et de la rencontre du rationnel et du plaisir qui s'y effectue.
