Présente dès la plus haute antiquité, l'arithmétique ou théorie des nombres est
encore en plein essor de nos jours. Marc Hindry nous en offre un panorama
exceptionnel, qui montre la vitalité et la vigueur de cette discipline. Son livre
brasse les innombrables notions de nombre. Il est à la fois un cours de base très
complet et un guide vers plusieurs thèmes de recherche actuels. Les congruences,
les sommes de Gauss et les équations diophantiennes y occupent, bien sûr, une
place de choix, aux côtés des problèmes de primalité, de factorisation et de codes,
si utiles en cryptographie. La fonction zêta de Riemann apparaît à propos de
questions de répartition des nombres premiers. Les courbes elliptiques font
l'objet d'un chapitre substantiel, qui culmine avec le théorème de Mordell-Weil et
conduit aux mathématiques de Wiles et à celles de Birch et Swinnerton-Dyer. Le
bouquet final reprend quelques-uns des thèmes abordés en les poussant
jusqu'au niveau des recherches actuelles (la conjecture «a,b,c», transcendance,
p-adicité et principe de Hasse...). Les méthodes sont algébriques et analytiques,
et ce mélange des genres participe de l'image de marque éminente de l'auteur au
sein de la communauté mathématique.
Le livre couvre la matière d'un cours de deux semestres, et s'adresse en priorité
aux étudiants de M1. Il intéressera également les agrégatifs, les professeurs des
classes préparatoires scientifiques, comme tous les passionnés de la théorie des
nombres, désignée par C. F. Gauss comme la reine des mathématiques.
