Le présent livre est le dernier volet, tant attendu, des « contes hédonistes », que nous retracent avec magie Philippe Caldero et Jérôme Germoni. Les lecteurs y sont transportés, comme sur un tapis volant, dans un parcours contemplatif et raisonné des interactions entre groupes et géométries. Nos deux capitaines ne réclament à leurs passagers aucun document de voyage, mais un simple bagage mathématique de niveau master.
Ce second volume suit le même canevas que son prédécesseur, en proposant de nombreux thèmes où les groupes jouent un rôle déterminant. Une place de choix est accordée à la théorie des représentations, qui fait désormais partie du programme de l'agrégation. Mais au-delà du cadre restrictif des programmes de concours, on découvrira quelques morceaux de bravoure, comme deux études topologiques des grassmanniennes, l'une élémentaire et l'autre à l'aide des coordonnées de Plücker, ou un survol de la théorie des carquois de Peter Gabriel. On y rencontre aussi la féconde théorie de McKay. Une des vocations de ce volume est, après tout, de pourvoir quelques outils de la recherche actuelle à l'intention des étudiants en master ou des professeurs du supérieur.
Des solides platoniciens aux grassmanniennes, en passant par quelques territoires défrichés naguère par cet autre magicien que fut Harold Scott Coxeter, les lecteurs comprendront combien la géométrie a été et reste la source d'inspiration première de toutes ces belles mathématiques. Ils saisiront également comment la théorie des groupes est là pour donner du recul à l'apprenti mathématicien et l'aider à sortir de sa caverne de Platon.
