Éléments de mathématiques pour le XXIe siècle, volume 1: Fondements des mathématiques 1 (logique des propositions et des prédicats, systèmes déductifs ... de Peano, structures algébriques de base)
Ce livre est le premier volume d’une série qui doit, à terme, couvrir l’ensemble des notions du premier cycle universitaire en mathématiques, tout en débordant largement sur le deuxième cycle. De manière plus générale, cette série d’ouvrages pourra être utile à toute personne s’intéressant aux mathématiques actuelles. Elle devrait, en théorie, être accessible même sans connaissance préalable. En effet, les mathématiques sont prises à leur début et les différents concepts progressivement construits, chaque définition, théorème et démonstration ne faisant appel qu’à ce qui a été défini précédemment.
Chaque ouvrage se veut à la fois
- didactique, avec des preuves très détaillées, des explications informelles, et de nombreux exemples et contre-exemples ;
- complet, voire encyclopédique, avec un exposé de nombreuses notions, des théorèmes tous démontrés, et de nombreux détails historiques ;
- synthétique, avec en particulier la volonté de multiplier les points de vue.
Les quatre premiers volumes traitent des fondements modernes des mathématiques. Ce premier volume est essentiellement consacré à la notion de logique mathématique. Sont en particulier étudiés les sujets suivants :
- la logique des propositions ;
- le calcul booléen (algèbre de Boole) ;
- la logique des prédicats ;
- des systèmes formels utilisés dans la théorie de la démonstration (sont notamment détaillés un système déductif à la Hilbert et la déduction naturelle) ;
- quelques exemples d’autres logiques formelles (logique intuitionniste ...).
On trouve aussi divers sujets un peu moins liés aux mathématiques formelles :
- des éléments de logique traditionnelle (syllogismes et diagrammes logiques) ;
- des exemples de paralogismes classiques.
Enfin, la présentation de la logique des prédicats est aussi l’occasion d’aborder d’autres notions :
- une première approche de quelques structures algébriques de base (groupes, anneaux, …) ;
- la théorie axiomatique de l’arithmétique de Peano, qui formalise les propriétés des nombres entiers et des opérations associées (addition, multiplication).
