Mathématiques : nouveau concours 2014. Vol. 1

Division euclidienne

La division euclidienne, ou division entière, est une opération qui à deux entiers naturels a et b, appelés dividende et diviseur, associe deux entiers q et r, appelés quotient et reste.

a = b x q + r, avec r < b.

Critères de divisibilité

Un nombre entier naturel :

• est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est un chiffre pair ;
• est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
• est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même un multiple de 4 ;
• est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 5 ou 0 ;
• est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
• est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang impair diminuée de la somme de ses chiffres de rang pair est divisible par 11.

Nombre premier

Un entier naturel est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Nombres premiers inférieurs à 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

Nombre de diviseurs

Si un nombre n admet pour décomposition en produit de facteurs premiers

n = a^m x b^p x c^q x ...

alors il admet exactement

(m + 1) x (p + 1) x (q + 1) x ... diviseurs.

PPCM

On appelle PPCm de deux nombres leur Plus Petit Multiple Commun, c'est-à-dire le plus petit nombre entier non nul multiple des deux nombres à la fois.

PGCD

On appelle PGCD de deux nombres leur Plus Grand Commun Diviseur, c'est-à-dire le plus grand nombre entier pouvant les diviser tous les deux.