La Structure vectorielle

Livre publié par les éditions Vuibert en 1979 (1ère éd) collection "Thémes Vuibert Université mathématiques" écrit par Claude Mutafian (né en 1942) maître de conférences en mathématiques et docteur en histoire. -LE LIVRE (4 grandes parties): 1-Structures linéaires du plan 2-Espaces vectoriels 3-Indépendance linéaire 4-Bases et dimensions. *Début PROLOGUE: "Le sujet traité dans ce volume est celui de LA STRUCTURE D'UN ESPACE VECTORIEL. Toutefois, j'ai commencé par un chapitre à part où l'on étudie, dans le plan, tout ce qui concerne les notions d'homothétie et de droites. L'étude de cette "structure linéaire du plan" [...] introduit la notion d'espace vectoriel de manière assez naturelle. {...]. On introduit ensuite un espace vectoriel comme un groupe abélien (notion d'addition) dans lequel certaines transformations sont privilégiées. On les appelle homothéties. Le lien est facile à faire avec la définition usuelle ou "externe" dans laquelle on part d'un corps, appelé corps de scalaires, qui agit sur le groupe abélien. Mais il n'y a pas lieu de différencier, dans l'étude d'un espace donné, le Scalaire alpha et l'homothétie qui consiste à multiplier par alpha. A partir de la notion d'homothétie apparaissent les sous-espaces, les droites, les sommes et la linéarité. La 2nde notion essentielle est celle d'indépendance linaire, qui elle, est étroitement liée à la définition d'une somme directe. [...]. Le résultat central de la structure vectorielle est bien-sûr l’existence des bases : tout espace vectoriel est libre, c'est à dire sommes directes de droites. Si ces droites sont en nombre fini, on trouve des espaces isomorphes à une puissance finie du corps de base. Sinon on tombe sur les espaces de dimension infinie, dont l'étude est bien plus compliquée et abstraite. J'en ai tout de même dit quelques mots, en supposant connus l'axiome du choix et des notions sur la cardinalité.Ce texte est un tout en soi [...]"