Ce cours illustré de plus de 200 exercices résolus est consacré à la théorie de l'intégration au sens de Lebesgue et à ses applications. Destiné aux étudiants qui sont en troisième année de licence (L3) ou en première année de master (M1) de mathématiques pures ou appliquées, il propose plusieurs niveaux de lecture où l'on distingue clairement les connaissances indispensables lors d'une première initiation des résultats à aborder lors d'une lecture plus approfondie.
Outre quelques rappels sur l'intégrale de Riemann, les points fondamentaux traités sont les suivants:
- éléments de théorie de la mesure: tribus, fonctions mesurables, mesures positives,
- mesure de Lebesgue,
- construction de l'intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence,
- espaces Lp,
- théorèmes de Fubini, changement de variables,
- convolution, régularisation,
- complétion de mesures, ensemble de Cantor.
Les résultats théoriques sont systématiquement illustrés d'exemples et d'applications permettant d'en assimiler le maniement technique et d'en mesurer la portée. Une fois familiarisé avec ces concepts de base, on pourra, selon ses besoins, approfondir certains théorèmes essentiels pour l'analyse fonctionnelle ou les probabilités: prolongement de mesure et construction de la mesure de Lebesgue, régularité, théorèmes de Radon-Nykodim, dualité Lp-Lq, théorème de représentation de Riesz, etc.
Chaque chapitre est complété par de nombreux exercices de difficulté variable. Y figurent également plusieurs problèmes d'examen.
La note d'Henri Lebesgue Sur une généralisation de l'intégrale définie parue en 1901 aux Comptes rendus de l'Académie des sciences est reproduite dans sa forme originelle en guise d'introduction historique à la seconde partie de l'ouvrage consacrée à la construction de l'intégrale de Lebesgue.
