Ce livre part de l'équation de la chaleur de Joseph Fourier (1807) pour aboutir à la très récente théorie des ondelettes. Dans la première partie, rédigée par Jean-Pierre Kahane, on voit défiler Fourier, Dirichlet, Riemann : Cantor, Lebesgue, et se développer des notions fondamentales de l'analyse, à commencer par la notion moderne de fonction, à l'occasion de l'étude des séries de Fourier. Dans la seconde, rédigée par Pierre Gilles Lemarié-Rieusset, un bref exposé historique conduit à un véritable traité de la théorie moderne des ondelettes, l'outil le plus récent de l'analyse harmonique.
La première partie, sans s'interdire l'actualité, a un caractère historique, et fait une grande place à des extraits d'oeuvres marquantes. La seconde partie, dont le contenu intéresse les physiciens et les ingénieurs autant que les mathématiciens, peut être lue indépendamment. Leur juxtaposition est tout à fait naturelle. Après une longue période d'incompréhension ou de réticence à l'égard de la démarche de Fourier, celui-ci apparaît aujourd'hui, avec la transformée de Fourier rapide, la théorie du signal, les ondelettes, comme un précurseur dans la recherche de méthodes puissantes et efficaces pour le traitement de questions diverses issues de l'étude de la nature ou de la technique. Ainsi la théorie analytique de la chaleur et le développement d'une fonction en harmoniques, à la Fourier, rejoignent les problèmes actuels de la physique théorique, de l'analyse d'images et des télécommunications, justiciables du traitement par ondelettes.
