« Des idéaux aux idéaux » ce titre quelque peu énigmatique, du moins pour le non-initié, fait référence à un épisode de l'histoire des mathématiques qui se situe entre 1845 et 1871 et dont les protagonistes sont les mathématiciens allemands Kummer (1810-1893) et Dedekind (1831-1916). Il s'agit d'étendre à d'autres systèmes que celui des entiers naturels le traditionnel théorème fondamental de F arithmétique selon lequel on peut décomposer, d'une manière et d'une seule, n'importe quel nombre en facteurs premiers. Son usage, avec des « entiers cyclotomiques » convenables, permet en effet de s'attaquer avec succès au problème, laissé par Fermat, de résoudre l'équation générale xn+yn = zn. Mais Kummer lui-même avait montré dès 1844 qu'une décomposition unique en facteurs premiers n'existe pas avec des entiers cyclotomiques formés de racines de l'unité... d'ordre 23 et c'est pourquoi, pour sauver en quelque sorte les phénomènes, il eut l'idée de dissocier les entiers cyclotomiques récalcitrants en facteurs premiers « idéaux » qui, convenablement regroupés, pouvaient donner ce qu'il a appelé les « nombres idéaux ».
Mais la définition précise des nombres idéaux de Kummer restait peu claire et difficile à généraliser. Aussi, après moultes réflexions, Dedekind proposa-t-il de les remplacer par des ensembles de nombres, ayant toutes les propriétés arithmétiques voulues, qu'il a appelés des « idéaux ». Après avoir exposé les données du problème (et résolu au passage les équations x5y5 = z5 et x7+y7 = z7), nous présentons ici, dans ce premier tome du Livre VII d'Arithmétique pour amateurs, les idées de Kummer et de Dedekind en les traitant d'abord dans le cadre plus simple des entiers quadratiques a+bi51/2, pour aboutir, via la notion de « monoïde factoriel » au point de vue général des « anneaux de Dedekind ». Mais il faudra un second tome et quelques considérations complémentaires sur la fonction zêta ou l'analyse p-adique pour être capable de résoudre, à la manière de Kummer, l'équation générale xP+yP = zP....
