Voici l'énoncé et la correction détaillée de la première composition du CAPES mathématiques 2014. Cette composition est formée d'un problème de géométrie sur les applications affines, suivi d'un problème d'analyse sur la résolution de certaines équations différentielles. On sait déjà depuis de nombreuses années que la première composition du CAPES ne devait plus porter sur l'analyse et les probabilités, tandis que la seconde composition ne devait plus intéresser spécialement l'algèbre et la géométrie. Actuellement, ces compositions ne se distinguent plus et peuvent traiter de sujets quelconques appartenant à l'ensemble du programme du concours. La raison d'un tel choix est facile à comprendre quand on sait que certains candidats ne passeront que la première épreuve pour être admissible, comme par exemple les capésiens bivalents qui doivent passer une épreuve de mathématiques et une épreuve de breton (!), ou les candidats au troisième concours qui permet de résorber l'auxiliariat. Se permettre d'aborder tous les thèmes dès la première épreuve permet de mieux juger des connaissances globales de ces candidats, les incitant à ne pas faire d'impasses dans leur préparation à l'écrit. Le premier problème propose une démonstration d'une version du théorème fondamental de la géométrie affine suivant lequel toute bijection du plan dans lui-même qui transforme toute droite en une droite, est une application affine. L'énoncé évite soigneusement de parler d'applications affines, puisque celles-ci ne sont plus au programme, mais les réintroduit subrepticement à l'aide de matrices et de l'identification du plan affine au produit cartésien R^2. Cette approche est celle qui sera en vogue dans les prochaines années en CPGE. Elle présente des avantages, comme celui de travailler avec les points d'un espace affine sans le nommer ni le définir vraiment, et des inconvénients qu'on ne tardera pas à découvrir, comme le fait d'établir une distinction très floue entre le plan affine, le plan vectoriel associé, les matrices-colonnes à deux entrées, et les éléments de R². L'évolution des programmes du lycée et les réductions d'horaire des mathématiques dues à la réforme Chatel 2010 ont rendu indispensable un certain changement de point de vue qui s'apparente à une baisse d'exigence. La solution de moins travailler les sciences dans la voie scientifique du lycée impose évidemment des réadaptations à la baisse dans tous les cursus scientifiques post-baccalauréat, pour acte. Ce premier problème n'en demeure pas moins instructif et abordable par les candidats : voilà un excellent entraînement en perspective ! Le second problème permet de réviser des propriétés classiques concernant les équations différentielles de la forme E: y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=c(t) où a, b et c sont des applications continues d'un intervalle I dans R et y une application de C²(I,R), ensemble des fonctions de classe C² de I dans R. Il permet aussi de travailler sur des propriétés concernant certaines équations plus particulières. Le problème est bien construit et permettra à tous de s'entraîner avec profit sur ce thème. Voilà donc deux très bons problèmes, très formateurs et à portée des candidats, où la difficulté sera de tenter de traiter le plus grand nombre de questions en temps limité, en proposant une rédaction suffisante pour engranger des points. Que dire de plus, si ce n'est qu'il faut que les futurs candidats s'entraînent suffisamment sur ce type de problèmes pour mettre toutes les chances de leurs côtés, et que cet entraînement peut et en tout cas devrait se faire dans la joie de bien comprendre de jolis développements qui font honneur à l'esprit humain.
