Comme nous l'avions promis, nous exposons, dans ce tome 2 du Livre VII, la méthode qui a permis à Kummer de montrer que l'équation xn + yn = zn n'a pas de solutions en nombres entiers x, y, z non nuls, dès que n est supérieur ou égal à 3, sinon pour tous les exposants n sans exception, exploit qui ne sera réalisé qu'en 1993-1995 par Andrew Wiles, du moins pour tous ceux compris entre 3 et 100, autres que 37, 59, 67 et 74.
L'idée de base (qui remonte en fait à Euler et à Lagrange) est de remplacer l'équation xp + yp = zp où p est un nombre premier impair (cas auquel on se ramène immédiatement) par l'équation à coeficients complexes (x + y)(x + omegay) ... (x + omegap-1y) = zp où omega est une racine primitive p-ième de l'unité. Ce faisant, on quitte le monde douillet des entiers ordinaires, pour celui, plus inquiétant, des entiers cyclotomiques, dans lequel, malheureusement, les propriétés de l'arithmétique habituelle ne sont pas assurées. Toutefois, comme on l'a montré dans le tome 1 du Livre VII, on peut obvier en partie à cet inconvénient en introduisant, dans le problème, les nombres idéaux de Kummer ou en faisant appel à la théorie équivalente des idéaux de Dedekind.
Mais ce ne sont pas les seuls ingrédients de la démonstration complète : la notion de nombre de classes, la décomposition en produit eulérien de la fonction zêta relative aux entiers cyclotomiques et même les propriétés arithmétiques des nombres de Bernoulli jalonnent aussi le parcours tourmenté qui mène au théorème de Kummer.
Nul doute que le lecteur aura plaisir à refaire après moi cette promenade à travers les mathématiques du XIXe siècle !
